福建省南*市2015届高考数学模拟试卷(理科)(5月份)

发布于:2021-07-27 00:30:51

福建省南*市 2015 届高考数学模拟试卷(理科) (5 月份)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) x+y 1. (5 分)已知 x,y∈R,i 为虚数单位,且 yi﹣x=﹣1+i,则(1﹣i) 的值为() A.2 B.﹣2i C . ﹣4 D.2i 2. (5 分)已知直线 x+y=1 与圆 x +y =1 相交 A,B 两点,则|AB|=() A. B. C. D.
2 2

3. (5 分)等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=8,则 log2a1+log2a2+…+log2a10=() A.10 B. 8 C. 6 D.4 4. (5 分)当 α 为锐角时,“ A.充分不必要条件 C. 充要条件 cosxdx= ”是“α= ”的()

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5. (5 分)已知向量 的值为() A.

=(3,﹣4)

=(6,﹣3) ,

=(2m,m+1)若



,则实数 m

B. ﹣

C. 3

D.﹣3

6. (5 分)如图给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值,输出相应的 y 值.若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 值有()

A.1 个

B. 2 个

C. 3 个

D.4 个

7. (5 分)如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面积是()

A.16+π

B.4π

C.24+π

D.24

8. (5 分)已知 O 为坐标原点,点 A 的坐标是(3,0) ,点 P(x,y)在不等式组



确定的区域内(包括边界)上运动,则 A.[4,10] B.[6,9]
2

的范围是() C.[6,10] D.[9,10]

9. (5 分)已知 P 是抛物线 y =4x 上的一个动点,则 P 到直线 l1:4x﹣3y+6=0 和 l2:x+2=0 的距离之和的最小值是() A.1 B. 2 C. 3 D.4 10. (5 分)已知 a,b∈R,函数 f(x)=﹣ =x1,则方程 f (x)﹣af(x)﹣b=0 的实根个数() A.4 B. 3 C. 2
2

有两个极值点 x1,x2(x1<x2) ,f(x2)

D.0

二、填空题(共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分) 11. (4 分)为估计图中阴影部分的面积,现采用随机模拟的方法,从边长为 1 的正方形 ABCD 中产生 200 个点,经统计,其中落入阴影部分的点共有 134 个,则估计阴影部分的面积是.

12. (4 分)已知 sin(α﹣β)cosα﹣cos(β﹣α)sinα= ,β 是第三象限角,则 tan(β+
2 10 4

)=.

13. (4 分)在(1+x+x ) (1﹣x) 的展开式中,含 x 的系数为 .

14. (4 分)已知 x,y∈(0,+∞) ,3

x﹣2

=( ) ,则 + 的最小值为.

y

15. (4 分)若实数 a,b,c 成等差数列,点 P(﹣1,0)在动直线 ax+by+c=0 上的射影为点 M,已知点 N(3,3) ,则线段 MN 的最大值与最小值的和为.

三、解答题(共 8 小题,满分 80 分) 16. (13 分)已知函数 f(x)=2 sinxcosx﹣cos2x,x∈R (1)求函数 f(x)的单调增区间 (2)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对边的长分别是 a,b,c,若 f(A)=2,C= △ ABC 的面积. 17. (13 分)已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球,乙盒内有大小相同的 3 个红球和 3 个黑球,现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球. (Ⅰ)求取出的 4 个球中没有红球的概率; (Ⅱ)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率; (Ⅲ)设 ξ 为取出的 4 个球中红球的个数,求 ξ 的分布列和数学期望. 18. (13 分)如图,在四面体 P﹣ABC 中,PA⊥面 ACB,BC⊥AC,M 是 PA 的中点,E 是 BM 的中点,AC=2,PA=4,F 是线段 PC 上的点,且 EF∥面 ACB. (Ⅰ)求证:BC⊥AF (Ⅱ)求 ; ,c=2,求

(Ⅲ)若异面直线 EF 与 CA 所成角为 45°,求 EF 与面 PAB 所成角 θ 的正弦值.

19. (13 分)已知椭圆 Γ 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率 e= 在椭圆 Γ 上. (Ⅰ)求椭圆 Γ 的方程;

,点 P(

,1)

(Ⅱ)过 Γ 的右焦点 F 作两条垂直的弦 AB,CD,设 AB,CD 的中点分别为 M,N,证明: 直线 MN 必过定点,并求此定点. 20. (14 分)已知函数 f(x)=a﹣be (e 是自然对数的底数,e=2.71828…)的图象在 x=0 处 的切线方程为 y=x. (Ⅰ) 求 a,b 的值; (Ⅱ) 若 g(x)=mlnx﹣e + mx ﹣(m+1)x+1(m>0) ,求函数 h(x)=g(x)﹣f(x) 的单调区间; (Ⅲ) 若正项数列{an}满足 a1= , =f(an)=f(an)证明:数列{an}是递减数列.
﹣x ﹣x

2

21. (7 分)已知矩阵 M= (Ⅰ) 求矩阵 M; (Ⅱ) 设矩阵 程.

,若向量

在矩阵 M 的变换下得到向量



,求直线 x﹣y+1=0 在矩阵 NM 的对应变换作用下得到的曲线 C 的方

22. (7 分)在*面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C1: = ,曲线 C2: , (α 为参数) .

(Ⅰ) 求曲线 C1 的直角坐标方程与曲线 C2 的普通方程; (Ⅱ) 求曲线 C2 上的点到曲线 C1 的点的最小距离. 23.已知函数 f(x)=|1﹣2x|﹣|2+2x|. (Ⅰ) 解不等式 f(x)≥1; 2 (Ⅱ) 若 a +2a>f(x)恒成立,求实数 a 的取值范围.

福建省南*市 2015 届高考数学模拟试卷(理科) (5 月份)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) x+y 1. (5 分)已知 x,y∈R,i 为虚数单位,且 yi﹣x=﹣1+i,则(1﹣i) 的值为() A.2 B.﹣2i C . ﹣4 D.2i 考点: 专题: 分析: 解答: 复数相等的充要条件. 数系的扩充和复数. 利用复数的运算法则、复数相等即可得出. 解:∵yi﹣x=﹣1+i,



,解得 x=1,y=1.
x+y 2

则(1﹣i) =(1﹣i) =﹣2i. 故选:B. 点评: 本题考查了复数的运算法则、复数相等,考查了计算能力,属于基础题. 2. (5 分)已知直线 x+y=1 与圆 x +y =1 相交 A,B 两点,则|AB|=() A. B. C. D.
2 2

考点: 专题: 分析: 解答:

直线与圆的位置关系. 直线与圆. 利用圆心到直线的距离与半径半弦长的关系求解即可. 2 2 解:直线 x+y=1 与圆 x +y =1 =
2

圆心到直线的距离为:
2

,圆的半径为 1,

所以直线 x+y=1 与圆 x +y =1 相交 A,B 两点,则|AB|= . 故选:B. 点评: 本题考查直线与圆的位置关系的应用,注意圆的半径、弦心距、半弦长的关系是解 题的关键. 3. (5 分)等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=8,则 log2a1+log2a2+…+log2a10=() A.10 B. 8 C. 6 D.4 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等比数列得性质和已知可得 a1a10=a2a9=…=a5a6=4,由对数的运算整体代入可求. 解答: 解:由等比数列得性质可得 a1a10=a2a9=…=a5a6, 又∵a5a6+a4a7=8, ∴a1a10=a2a9=…=a5a6=4, ∴log2a1+log2a2+…+log2a10 =log2(a1?a2?…a10) 5 =log2(a1a10) 5 =log24 10 =log22 =10, 故选:A. 点评: 本题考查等比数列的性质,涉及对数的运算,属中档题.

4. (5 分)当 α 为锐角时,“ A.充分不必要条件 C. 充要条件

cosxdx= ”是“α=

”的()

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 利用定积分求出关系式,然后利用充要条件判断即可. 解答: 解:当 α 为锐角时,“ 可得 sin ,可得 α= . cosxdx= ”

sin

= ,满足

. cosxdx= ”是“α= ”的充要条件.

所以当 α 为锐角时,“

故选:C. 点评: 本题考查定积分的求法,充要条件的判断与应用,基本知识的考查.

5. (5 分)已知向量 的值为() A.

=(3,﹣4)

=(6,﹣3) ,

=(2m,m+1)若



,则实数 m

B. ﹣

C. 3

D.﹣3

考点: *面向量的坐标运算. 专题: *面向量及应用. 分析: 利用已知条件求出 解答: 解:向量 ,然后利用这里共线的充要条件求解即可. =(6,﹣3) , =(3,1)

=(3,﹣4) ∥ ,

=(2m,m+1) ,若

可得 3m+3=2m,解得 m=﹣3. 故选:D. 点评: 本题考查向量的基本运算,基本知识的考查. 6. (5 分)如图给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值,输出相应的 y 值.若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 值有()

A.1 个

B. 2 个

C. 3 个

D.4 个

考点: 选择结构. 专题: 阅读型;分类讨论. 分析: 由已知的程序框图,我们可得该程序的功能是计算并输出分段函数

y=

的值,结合输入的 x 值与输出的 y 值相等,我们分类讨论后,即可得到

结论. 解答: 解:由题意得该程序的功能是

计算并输出分段函数 y=

的值

又∵输入的 x 值与输出的 y 值相等 当 x≤2 时,x=x ,解得 x=0,或 x=1 当 2<x≤5 时,x=2x﹣4,解得 x=4 当 x>5 时,x= ,解得 x=±1(舍去) 故满足条件的 x 值共有 3 个 故选 C 点评: 本题考查的知识点是选择结构,其中分析出函数的功能,将问题转化为分段函数函 数值问题,是解答本题的关键. 7. (5 分)如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面积是()
2

A.16+π

B.4π

C.24+π

D.24

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据三视图给出的数据可判断: 底面边长为 2 的正方形,高位 1 的四棱柱,棱柱内有一个半球,球半径为 1, 根据几何体的性质,转化为正方形,矩形,圆的面积求解. 解答: 解:根据三视图给出的数据可判断: 底面边长为 2 的正方形,高位 1 的四棱柱,棱柱内有一个半球,球半径为 1, 所以该几何体的表面积 2 +4×2×1
2

+(4﹣π×1 )=16+π.

2

故选:A. 点评: 本题考查了空间几何体,组合体的三视图的运用,关键是判断组合体的构成,运用 数据求解面积,难度不大,需要计算准确.

8. (5 分)已知 O 为坐标原点,点 A 的坐标是(3,0) ,点 P(x,y)在不等式组



确定的区域内(包括边界)上运动,则 A.[4,10] B.[6,9]

的范围是() C.[6,10] D.[9,10]

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组表示的可行域,由 =2x+3y,令 z=2x+3y,结合 z 的几何意义可

求 z 的最大与最小值,即可求解 解答: 解:由题意可得 A(3,0) ,B(2,2) ,C(0,3) 可行域是如图所示的△ ABC 区域(包括边界) 因为 =2x+3y

令 z=2x+3y,如图*行移动直线 z=2x+3y,当直线 z=2x+3y 过 A(3,0)时,z 取得最小值, 此时 z=6,

当直线 z=2x+3y 过 B(2,2)时,Z 取得最大值 10, ∴ 故选 C.

点评: 本题主要考查了二元一次不等式组表示的*面区域,简单的线性规划问题和向量的 数量积. 9. (5 分)已知 P 是抛物线 y =4x 上的一个动点,则 P 到直线 l1:4x﹣3y+6=0 和 l2:x+2=0 的距离之和的最小值是() A.1 B. 2 C. 3 D.4 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 分析: x=﹣1 是抛物线 y =4x 的准线,则 P 到 x+2=0 的距离等于 PF+1,抛物线 y =4x 的焦 点F (1, 0) 过 P 作 4x﹣3y+6=0 垂线, 和抛物线的交点就是 P, 所以点 P 到直线 l1: 4x﹣3y+6=0 的距离和到直线 l2:x=﹣1 的距离之和的最小值就是 F(1,0)到直线 4x﹣3y+6=0 距离,即 可得出结论. 解答: 解:∵x=﹣1 是抛物线 y =4x 的准线, ∴P 到 x+2=0 的距离等于|PF|+1, 2 ∵抛物线 y =4x 的焦点 F(1,0) ∴过 P 作 4x﹣3y+6=0 垂线,和抛物线的交点就是 P, ∴点 P 到直线 l1:4x﹣3y+6=0 的距离和到直线 l2:x=﹣1 的距离之和的最小值就是 F(1,0) 到直线 4x﹣3y+6=0 距离, ∴P 到直线 l1:4x﹣3y+6=0 和 l2:x+2=0 的距离之和的最小值是 +1=2+1=3.
2 2

故选:C. 点评: 本题考查点到直线的距离公式的求法,是基础题.解题时要认真审题,注意抛物线 的性质的灵活运用. 10. (5 分)已知 a,b∈R,函数 f(x)=﹣ =x1,则方程 f (x)﹣af(x)﹣b=0 的实根个数() A.4 B. 3 C. 2
2

有两个极值点 x1,x2(x1<x2) ,f(x2)

D.0

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: 由函数 f(x)=﹣
2 2

有两个极值点 x1,x2,可得 x ﹣ax﹣b=0 有两个不

2

相等的根,必有△ =a +4b>0.而方程 f (x)﹣af(x)﹣b=0 的△ 1=△ >0,可知此方程有两 解且 f(x)=x1 或 x2.再分别讨论利用*移变换即可解出方程 f(x)=x1 或 f(x)=x2 解的个 数. 解答: 解:∵f(x)=﹣ ∴f′(x)=﹣x +ax+b, 由题意知 x1,x2 是函数的两个极值点, 2 ∴x ﹣ax﹣b=0 有两个不相等的根, 2 ∴△=a +4b>0. ∵x1<x2, ∴x1=
2 2



,x2=



而方程 f (x)﹣af(x)﹣b=0 的△ 1=△ >0, ∴此方程有两解且 f(x)=x1 或 x2 即有 0<x1<x2,f(x2)>0. ①把 y=f(x)向下*移 x2 个单位即可得到 y=f(x)﹣x2 的图象, ∵f(x2)=x2,可知方程 f(x)=x2 有两解. ②把 y=f(x)向下*移 x1 个单位即可得到 y=f(x)﹣x1 的图象, ∵f(x2)=x2,∴f(x2)﹣x1>0,可知方程 f(x)=x1 只有一解. 综上①②可知:方程 f(x)=x1 或 f(x)=x2 只有 3 个实数解. 2 即关于 x 的方程 f (x)﹣af(x)﹣b=0 的只有 3 不同实根. 故选:B. 点评: 本题综合考查了利用导数研究函数得单调性、极值及方程解得个数、*移变换等基 础知识,考查了图象*移的思想方法、推理能力、计算能力、分析问题和解决问题的能力. 二、填空题(共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分) 11. (4 分)为估计图中阴影部分的面积,现采用随机模拟的方法,从边长为 1 的正方形 ABCD 中产生 200 个点, 经统计, 其中落入阴影部分的点共有 134 个, 则估计阴影部分的面积是 0.67.

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 由已知, 点落入阴影部分的概率为 由此求导阴影部分面积. , 由此得到阴影部分与正方形的面积比为 ,

解答: 解:由题意,根据几何概型的公式可得点落入阴影部分的概率为 与正方形的面积比为 ,

,所以阴影部分



,正方形面积为 1,

所以阴影部分的面积为 0.67; 故答案为:0.67. 点评: 本题考查了几何概型的公式运用;明确阴影部分的面积与正方形的面积比对于落入 阴影部分的点数与所有点数比是关键.

12. (4 分)已知 sin(α﹣β)cosα﹣cos(β﹣α)sinα= ,β 是第三象限角,则 tan(β+

)=7.

考点: 两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用两角和差的正弦公式进行化简,然后利用两角和差的正切公式进行计算即可. 解答: 解:由 sin(α﹣β)cosα﹣cos(β﹣α)sinα= , 得 sin(α﹣β﹣α)=sin(﹣β)= , ∴sinβ=﹣ , ∵β 是第三象限角, ∴cosβ=﹣ ,tanβ= ,

则 tan(β+

)=

=

=7,

故答案为:7; 点评: 本题主要考查三角函数值的计算,利用两角和差的正弦公式和正切公式是解决本题 的关键. 13. (4 分)在(1+x+x ) (1﹣x) 的展开式中,含 x 的系数为 135. 考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 先将多项式展开,转化为二项式系数的和差,利用二项展开式的通项公式求出各项 系数即可. 2 10 10 10 2 10 解答: 解:∵(1+x+x ) (1﹣x) =(1﹣x) +x(1﹣x) +x (1﹣x) 2 10 4 ∴(1+x+x ) (1﹣x) 展开式中含 x 的系数为
2 10 4

(1﹣x) 的含 x 的系数加上其含 x 的系数加上其含 x 项的系数 10 r r ∵(1﹣x) 展开式的通项为 Tr+1=C10 (﹣x) 4 3 2 4 3 2 令 r=4,3,2 分别得展开式含 x ,x ,x 项的系数为 C10 ,﹣C10 ,C10 2 10 4 故(1+x+x ) (1﹣x) 展开式中含 x 的系数为 4 3 2 C10 ﹣C10 +C10 =135, 故答案为 135 点评: 本题考查等价转化能力及利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问 题. 14. (4 分)已知 x,y∈(0,+∞) ,3
x﹣2 y

10

4

3

2

=( ) ,则 + 的最小值为



考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用指数函数性质可得 x+y=2,再利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出. 解答: 解:∵x,y∈(0,+∞) ,3 ∴3
x﹣2
﹣y

x﹣2

=( ) ,

y

=3 ,∴x﹣2=﹣y,即 x+y=2. = , . = .当且仅当

则 + = y= x=2

故答案为:

点评: 本题考查了指数函数性质、“乘 1 法”与基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能 力,属于基础题. 15. (4 分)若实数 a,b,c 成等差数列,点 P(﹣1,0)在动直线 ax+by+c=0 上的射影为点 M,已知点 N(3,3) ,则线段 MN 的最大值与最小值的和为 10. 考点: 点到直线的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: 由 a, b, c 成等差数列, 利用等差数列的性质得到 2b=a+c, 整理后与直线方程 ax+by+c=0 比较发现,直线 ax+by+c=0 恒过 Q(1,﹣2) ,再由点 P(﹣1,0)在动直线 ax+by+c=0 上的 射影为 M,得到 PM 与 QM 垂直,利用圆周角定理得到 M 在以 PQ 为直径的圆上,由 P 和 Q 的坐标,利用中点坐标公式求出圆心 A 的坐标,利用两点间的距离公式求出此圆的半径 r,线 段 MN 长度的最大值即为 M 与圆心 A 的距离与半径的和,求出即可 解答: 解:∵a,b,c 成等差数列, ∴2b=a+c,即 a﹣2b+c=0, 可得方程 ax+by+c=0 恒过 Q(1,﹣2) , 又点 P(﹣1,0)在动直线 ax+by+c=0 上的射影为 M, ∴∠PMQ=90°, ∴M 在以 PQ 为直径的圆上,

∴此圆的圆心 A 坐标为( r= |PQ|= 又 N(3,3) , ∴|AN|=5,

, =

) ,即 A(0,﹣1) ,半径 ,

则|MN|max=5+ ,最小值为 5﹣ ,所以线段 MN 的最大值与最小值的和为 10. 故答案为:10. 点评: 此题考查了等差数列的性质,恒过定点的直线方程,圆周角定理,线段中点坐标公 式,以及两点间的距离公式,利用等差数列的性质得到 2b=a+c,即 a﹣2b+c=0 是解本题的突 破点. 三、解答题(共 8 小题,满分 80 分) 16. (13 分)已知函数 f(x)=2 sinxcosx﹣cos2x,x∈R (1)求函数 f(x)的单调增区间 (2)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对边的长分别是 a,b,c,若 f(A)=2,C= △ ABC 的面积. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦定理. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)由二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简可得 f(x)=2sin(2x﹣ 然后结合正弦函数的单调性即可求解 f(x)的单调递增区间 (II)由已知代入可求 A,然后依据正弦定理,可求 a,B,代入三角形的面积公式 可求 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)=2 = ∴f(x)=2sin(2x﹣ 由 解得 …(1 分) ) .…(3 分) ,k∈Z, ,k∈Z.…(5 分) , ,c=2, ,k∈Z.…(8 分) ],k∈Z.…(6 分) sinxcosx﹣cos2x,x∈R) ) , ,c=2,求

∴函数 f(x)的单调递增区间是[k (Ⅱ)∵在△ ABC 中,f(A)=2,C= ∴2sin(2A﹣ 又 0<A<π,∴ )=2 解得 A=k .…(9 分)

依据正弦定理,有

,解得 a=

.…(10 分)

∴B=π﹣A﹣C= ∴

.…(11 分) = = .…(13 分)

点评: 本通综合考查了二倍角公式、辅助角公式在三角函数化简中的应用,正弦函数性质 的应用及正弦定理、三角形面积公式的应用. 17. (13 分)已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球,乙盒内有大小相同的 3 个红球和 3 个黑球,现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球. (Ⅰ)求取出的 4 个球中没有红球的概率; (Ⅱ)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率; (Ⅲ)设 ξ 为取出的 4 个球中红球的个数,求 ξ 的分布列和数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;互斥事件的概率加法公式;古典概型及其概率计算 公式. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)利用古典概型概率计算公式能求了取出的 4 个球中没有红球的概率. (Ⅱ)利用互斥事件概率加法公式能求出取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率. (Ⅲ)由题意知 ξ 可能的取值为 0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出 ξ 的分布列 和数学期望. 解答: (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:设“取出的 4 个球中没有红球”为事件 A. 则 ,

所以取出的 4 个球中没有红球的概率为

. (4 分)

(Ⅱ)解:设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球; 从乙盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个是黑球”为事件 B, “从甲盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个是黑球; 从乙盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 C. 由于事件 B,C 互斥, 且 , (6 分)

. (8 分) 所以,取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为: . (9 分)

(Ⅲ)解:ξ 可能的取值为 0,1,2,3. (10 分) 由(Ⅰ) (Ⅱ)知 . .

, 所以,ξ 的分布列为: ξ 0 P (12 分) 所以 ξ 的数字期望 . (13 分)

1

2

3

点评: 本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,解题时要 认真审题,是中档题. 18. (13 分)如图,在四面体 P﹣ABC 中,PA⊥面 ACB,BC⊥AC,M 是 PA 的中点,E 是 BM 的中点,AC=2,PA=4,F 是线段 PC 上的点,且 EF∥面 ACB. (Ⅰ)求证:BC⊥AF (Ⅱ)求 ;

(Ⅲ)若异面直线 EF 与 CA 所成角为 45°,求 EF 与面 PAB 所成角 θ 的正弦值.

考点: 异面直线及其所成的角;直线与*面*行的性质. 专题: 空间位置关系与距离;空间角;空间向量及应用. 分析: (Ⅰ)PA⊥面 ACB,从而得到 BC⊥PA,再由 BC⊥AC 及线面垂直判定定理即可得 出 BC⊥AF; (Ⅱ)首先根据已知条件,以 A 为原点,AC 的垂线为 x 轴,AC 为 y 轴建立空间直角坐标系, 求出一些点的坐标,可设 ,B(m,2,0) ,可表示出 F 点的坐标,而 ,这样即可求出 λ;

为*面 ACB 的一个法向量,由 EF∥面 ACB,即可得到

(Ⅲ)写出向量

的坐标,根据异面直线 EF 与 CA 所成角为 45°即可求出 m,从而求 为*面 PAB 的法向量,并设 ,

出 B 点坐标,过 C 作 CD⊥AB,则可说明 根据 即可求出 , 从而由 sinθ=|cos

|即可求得 EF 与面 PAB 所成角 θ 的

正弦值. 解答: 解: (Ⅰ)证明:PA⊥面 ACB,BC?面 ACB; ∴PA⊥BC,即 BC⊥PA; 又 BC⊥AC,PA∩AC=A; ∴BC⊥面 PAC,AF?面 PAC; ∴BC⊥AF; (Ⅱ)如图以 A 为原点,AC 的垂线,AC,AP 三直线分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标 系,则: A(0,0,0) ,C(0,2,0) ,P(0,0,4) ,M(0,0,2) ; 设 则 因为 ∴ ∴ ∴ ∴ ; ; ; ; ; , (0≤λ≤1) ,B(m,2,0) , (m>0) ,可得 ; 是*面 ACB 的一个法向量,EF∥面 ACB; ,F(0,2﹣2λ,4λ) ,

(Ⅲ)由(Ⅱ)知



=

=



解得 m=1; 由此 ,B(1,2,0) ;

过 C 作 CD⊥AB,垂足为 D; 又∵PA⊥面 ACB,CD?面 ACB; ∴CD⊥PA,PA∩AB=A; ∴CD⊥面 PAB; ∴ 为面 PAB 的法向量,设 ,则:

,取 y=1,则



∴EF 与面 PAB 所成角 θ 的正弦值:sinθ=|cos

|=



点评: 考查线面垂直的性质,线面垂直的判定定理,建立空间直角坐标系,利用空间向量 解决线面*行、线线角,以及线面角等问题的方法,能确定空间点的坐标,向量夹角余弦的坐 标公式,弄清直线和*面所成角与直线方向向量和*面法向量夹角的关系.

19. (13 分)已知椭圆 Γ 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率 e=

,点 P(

,1)

在椭圆 Γ 上. (Ⅰ)求椭圆 Γ 的方程; (Ⅱ)过 Γ 的右焦点 F 作两条垂直的弦 AB,CD,设 AB,CD 的中点分别为 M,N,证明: 直线 MN 必过定点,并求此定点. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 解: (Ⅰ)设出所求椭圆方程为 .由椭圆的离心率及点 P

在椭圆上列式求得 a,b 的值,则椭圆方程可求; (Ⅱ)求出椭圆右焦点 F 的坐标,然后分弦 AB,CD 的斜率均存在和弦 AB 或 CD 的斜率不 存在两种情况求解.当斜率均存在时,写出直线 AB 的方程,代入椭圆方程后化简, 利用根与系数关系求得 M 坐标,同理求得 N 的坐标.进一步分 k≠±1 和 k=±1 求得直线 MN 的 方程,从而说明直线 MN 过定点,当弦 AB 或 CD 的斜率不存在时,易知,直线 MN 为 x 轴, 也过点( ) .

解答: 解: (Ⅰ)由题意可设所求椭圆方程为







解得:a =3,b =2. 即椭圆 Γ 的方程为 ;

2

2

(Ⅱ)由题意得 F(1,0) , (1)当弦 AB,CD 的斜率均存在时, 设 AB 的斜率为 k,则 CD 的斜率为 .

令 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,线段 AB 中点 M(x0,y0) . 将直线 AB 方程代入椭圆方程
2 2 2 2



并化简得(3k +2)x ﹣6k x+(3k ﹣6)=0. 则 , ,于是 M( ) .

∵CD⊥AB,∴将点 M 坐标中的 k 换为 即得点 .



①当 k≠±1 时,直线 MN 的方程为



令 y=0,得 x= ,则直线 MN 过定点(

) ; ) . ) .

②当 k=±1 时,易得直线 MN 的方程 x= ,也过点(

(2)当弦 AB 或 CD 的斜率不存在时,易知,直线 MN 为 x 轴,也过点( 综上,直线 MN 必过定点( ) .

点评: 本题考查了椭圆方程的求法,考查了直线和圆锥曲线的位置关系,涉及直线和圆锥 曲线问题,常采用联立直线方程和圆锥曲线方程,利用根与系数关系求解,是中档题. 20. (14 分)已知函数 f(x)=a﹣be (e 是自然对数的底数,e=2.71828…)的图象在 x=0 处 的切线方程为 y=x.
﹣x

(Ⅰ) 求 a,b 的值; (Ⅱ) 若 g(x)=mlnx﹣e + mx ﹣(m+1)x+1(m>0) ,求函数 h(x)=g(x)﹣f(x) 的单调区间; (Ⅲ) 若正项数列{an}满足 a1= , =f(an)=f(an)证明:数列{an}是递减数列.
﹣x

2

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;数列与函数的综 合. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)先求出函数的导数,得到 a﹣b=0,b=1,从而求出 a,b 的值; (Ⅱ)先求出 h(x)的表达式,求出 h(x)的导数,通过讨论 m 的范围,确定函数的单调性 即可; x (Ⅲ)要证数列{an}是递减数列,只需设出 u(x)=e ﹣x﹣1,x∈(0,+∞) ,通过求导得到 u x (x)>u(0)=0,即 e >x+1,从而证出结论. 解答: 解: (Ⅰ)由题意得 f(0)=0,f′(0)=1,则 a﹣b=0,b=1, 解得:a=1,b=1, (Ⅱ)由题意得 h(x)=mlnx+ mx ﹣(m+1)x,x∈(0,+∞) . h′(x)= +x﹣(m+1)= ,
2

(1)当 0<m<1 时,令 h′(x)>0,并注意到函数的定义域(0,+∞) , 得 0<x<m 或 x>1,则 h(x)的增区间是(0,m) , (1,+∞) , 同理可求 h(x)的减区间是(m.1) ; (2)当 m=1 时,h′(x)≥0,则 h(x)是定义域(0,+∞)内的增函数; (3)当 m>1 时,令 h′(x)>0,并注意到函数的定义域(0,+∞) , 得 0<x<1 或 x>m, 则 h(x)的增区间是(0,1) , (m,+∞) , 同理可求 h(x)的减区间是(1,m) ; (Ⅲ)证明:因为正项数列{an}满足 a1= ,an =f(an) ,

所以 ln(an

)=ln(1﹣

) ,即 an+1=﹣ln



要证数列{an}是递减数列: ?an+1<an?﹣ln
x

<an?



?

>an+1,

设 u(x)=e ﹣x﹣1,x∈(0,+∞) , x ∵u′(x)=e ﹣1>0, ∴u(x)是(0,+∞)上的增函数,则 u(x)>u(0)=0, 即 e >x+1,故:
x

>an+1,

则数列{an}是递减数列.

点评: 本题考察了函数的单调性,考察导数的应用,考察转化思想,不等式的证明问题, 本题是一道难题.

21. (7 分)已知矩阵 M= (Ⅰ) 求矩阵 M; (Ⅱ) 设矩阵 程.

,若向量

在矩阵 M 的变换下得到向量



,求直线 x﹣y+1=0 在矩阵 NM 的对应变换作用下得到的曲线 C 的方

考点: 几种特殊的矩阵变换. 专题: 选作题;矩阵和变换. 分析: (Ⅰ)利用矩阵变换公式,即可求矩阵 N; (Ⅱ)求出 MN,可得坐标之间的关系,代人直线 x+y+1=0 整理,即可求曲线的方程 解答: 解: (Ⅰ)由= = …(1 分)



,解得

…(2 分)

∴M= (Ⅱ)NM=

…(3 分) = …(4 分)

设点(x,y)是直线 x﹣y+1 上 1 一点,在矩阵 NM 的对应变换作用下得到的点(x′,y′) ,则 = ,可得 …(5 分)



,代入 x﹣y+1=0 得 2x′﹣y′+1=0…(6 分)

即所求的曲线方程为 2x﹣y﹣1=0…(7 分) 点评: 本题给出矩阵变换, 求直线 x+y+1=0 在矩阵 NM 的对应变换作用下得到的曲线方程, 着重考查了矩阵与变换的运算、曲线方程的求法等知识,属于中档题. 22. (7 分)在*面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C1: = ,曲线 C2: , (α 为参数) .

(Ⅰ) 求曲线 C1 的直角坐标方程与曲线 C2 的普通方程; (Ⅱ) 求曲线 C2 上的点到曲线 C1 的点的最小距离. 考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程.

分析: (Ⅰ)由曲线 C1:
2 2

=

,展开代入

,即可化为直角

坐标方程. 利用 sin α+cos α=1 可把曲线 C2:

, (α 为参数) , 化为普通方程.

(II)利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离,即可得出最小距离. 解答: 解: (Ⅰ)由曲线 C1: = = ,展开可得:

,化为直角坐标方程:x+y﹣2=0.
2 2

曲线 C2:

, (α 为参数) ,消去参数可得(x+1) +(y+1) =4.

(Ⅱ) 曲线 C2 表示圆心为(﹣1,﹣1) ,半径 r=2 的圆, 圆心到直线的距离 d =2 >2,

所以圆上的点到直线的距离的最小值为 ﹣2. . 点评: 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距 离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 23.已知函数 f(x)=|1﹣2x|﹣|2+2x|. (Ⅰ) 解不等式 f(x)≥1; (Ⅱ) 若 a +2a>f(x)恒成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ) 把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组,求出每个不等式组的 解集,再取并集,即得所求. 2 2 (Ⅱ) 若 a +2a>f(x)恒成立,则 a +2a 大于 f(x)的最大值.利用绝对值三角不等式求 2 得 f(x)的最大值,可得 a +2a>3,由此求得 a 的范围. 解答: (3)解: (Ⅰ)f(x)≥1 可化为:|1﹣2x|﹣|2+2x|≥1, 即 ①,或 ②,或 ③.
2

解①得 x<﹣1,解②求得 x≤﹣ ,解③求得 x∈?,所以不等式的解集为(﹣∞,﹣ ]. (Ⅱ)a +2a>f(x)恒成立,等价于 a +2a 大于 f(x)的最大值. 由于 f(x)=|1﹣2x|﹣|2+2x|≤|1﹣2x+2+2x|=3,当且仅当 x≤﹣1 时取等号,故 f(x)的最大值 为 3, 2 ∴a +2a>3,求得 a<﹣3,或 a>1,故实数 a 的取值范围为(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞) . 点评: 本题主要考查绝对值三角不等式,绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,体现 了转化、分类讨论的数学思想,属于基础题.
2 2


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